[선형대수학] 벡터공간과 부분공간

이전 글에서 우리는 연립일차방정식의 해를 구하기 위해 행렬을 도입했습니다. 그 과정에서 자연스럽게 다루었던 대상이 $\mathbb{R}^n$ 의 벡터들이었죠. 이제 한 가지 근본적인 질문을 던져봅시다: 벡터란 무엇인가?

답은 의외로 단순합니다. 벡터는 덧셈과 스칼라배가 잘 작동하는 대상이면 무엇이든 될 수 있습니다. 열벡터뿐만 아니라, 행렬, 다항식, 연속함수까지도요. 이 공통 구조를 포착하는 것이 벡터공간의 개념입니다.

이 글의 여정

동차 연립방정식

Ax = 0

의 해집합에서 출발하여, 벡터공간의 8가지 공리를 동기부여하고, 부분공간 판정법을 유도한 뒤, 생성공간(span)으로 마무리합니다. 관통하는 핵심 원리: "= 0" 조건이 부분공간을 만든다.

1. 출발점: Ax = 0의 해집합

동차 연립방정식의 해집합이 가진 특별한 성질

이전 글에서 가우스 소거법을 통해 연립방정식 $Ax = b$ 의 해를 구했습니다. 이제 특별한 경우인 동차 연립방정식 $Ax = \mathbf{0}$ 에 주목합시다.

Ax = \mathbf{0}

의 해를 두 개 찾았다고 합시다:

x_1

과

x_2

. 그렇다면

x_1 + x_2

도 해가 될까요? 비동차 방정식

Ax = b

(b \neq \mathbf{0})

에서는 어떤가요?

동차인 경우: $Ax_1 = \mathbf{0}$ , $Ax_2 = \mathbf{0}$ 이면

A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0} \quad \checkmark

스칼라배도 마찬가지입니다. 임의의 $c \in \mathbb{R}$ 에 대해:

A(cx_1) = c(Ax_1) = c \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} \quad \checkmark

비동차인 경우: $Ax_1 = b$ , $Ax_2 = b$ 이면

A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b + b = 2b \neq b \quad \times

즉, $Ax = \mathbf{0}$ 의 해집합은 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있지만, $Ax = b$ 의 해집합은 그렇지 않습니다. 이 "닫혀 있음"이라는 성질이 벡터공간 이론의 출발점입니다.

2. 벡터공간의 공리적 정의

왜 하필 이 8가지 공리인가?

체(field) $F$ 위의 벡터공간이란, 집합 $V$ 에 두 연산 — 벡터 덧셈 $+: V \times V \to V$ 와 스칼라 곱셈 $\cdot: F \times V \to V$ — 이 주어지고, 다음 8가지 공리를 만족하는 구조입니다.

이 공리들은 누군가 임의로 정한 것이 아닙니다. $\mathbb{R}^n$ , 행렬 공간, 다항식 공간, 함수 공간 등을 관찰했더니 이 8가지 성질이 공통적으로 성립했기에, 이것들을 뽑아내어 정의로 삼은 것입니다.

📐 공리 목록

3. 닫혀 있다는 것만으로는 부족하다

닫힘과 공리의 차이

"닫혀 있다"는 것은 연산이 $V \times V \to V$ 라는 함수로서 잘 정의된다는 전제조건입니다. 공리들은 그 너머에, 연산이 어떻게 행동해야 하는가를 규정합니다.

만약 연산이 닫혀 있지만 공리를 만족하지 않는 예시가 있을까요?

V = \mathbb{R}^2

에서 덧셈은 보통의 벡터 덧셈으로, 스칼라배를

c \odot (x_1, x_2) = (cx_1, 0)

으로 정의하면 어떤 공리가 깨질까요?

이 연산은 닫혀 있습니다 — 결과가 항상 $\mathbb{R}^2$ 에 속하죠. 그런데 공리 (S4)를 확인해보면:

1 \odot (x_1, x_2) = (1 \cdot x_1, 0) = (x_1, 0) \neq (x_1, x_2)

$x_2 \neq 0$ 이면 $1 \odot v \neq v$ 입니다. 스칼라배가 닫혀 있음에도 불구하고 벡터공간이 아닙니다.

4. 부분공간 판정법

8가지 공리를 전부 확인해야 할까?

$Ax = \mathbf{0}$ 의 해집합은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분집합입니다. 이것이 벡터공간이 되려면 8가지 공리를 전부 검증해야 할까요?

W \subseteq V

이고

V

가 벡터공간일 때, 8가지 공리 중 어떤 것이

V

로부터 자동으로 물려받아지고, 어떤 것은 별도로 확인해야 할까요?

(A1) 교환법칙을 예로 들어봅시다. $V$ 에서 모든 $x, y \in V$ 에 대해 $x + y = y + x$ 가 성립합니다. $W \subseteq V$ 이면 $W$ 의 원소들도 $V$ 의 원소이므로, 교환법칙은 자동으로 성립합니다.

같은 논리로, 등식 관계를 말하는 공리는 전부 자동입니다: (A1), (A2), (S1), (S2), (S3), (S4) — 총 6개.

별도 확인이 필요한 것은 존재 공리인 (A3) 영벡터와 (A4) 역원뿐입니다. 그런데 이것들도 닫힘으로부터 유도할 수 있습니다!

5. 유제: 부분공간인가?

부분공간 판정 실전 연습

유제 1 — 영공간 (Null Space)

명제: $A$ 가 $m \times n$ 행렬일 때, $W = \{x \in \mathbb{R}^n : Ax = \mathbf{0}\}$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간이다.

증명: 부분공간 판정법 (b)를 적용합니다.

$W \neq \emptyset$ : $A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{0} \in W$ . ✓

덧셈 닫힘: $x_1, x_2 \in W$ 이면 $A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = \mathbf{0}$ . ✓

스칼라배 닫힘: $c \in \mathbb{R}$ , $x \in W$ 이면 $A(cx) = c(Ax) = c\mathbf{0} = \mathbf{0}$ . ✓ ∎

V = P_2(\mathbb{R})

(차수 2 이하의 실수 다항식 공간)에서

W = \{p(t) \in P_2(\mathbb{R}) : p(1) = 0\}

는 부분공간인가? 부분공간 판정법을 적용해보세요.

$W \neq \emptyset$ : 영다항식 $p(t) = 0$ 이 $p(1) = 0$ 을 만족하므로 $\mathbf{0} \in W$ . ✓

판정법 (c) 적용: $p, q \in W$ 이면 $p(1) = 0$ , $q(1) = 0$ . 임의의 $c \in \mathbb{R}$ 에 대해:

(cp + q)(1) = cp(1) + q(1) = c \cdot 0 + 0 = 0

따라서 $cp + q \in W$ . ✓ ∎

핵심 관찰: $p(1) = 0$ 이라는 조건이 선형적입니다. 함수값 구하기(evaluation)가 덧셈과 스칼라배를 보존하기 때문에, 이 증명은 계수를 풀어쓰지 않아도 성립합니다.

W = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 x_2 \geq 0\}

은

\mathbb{R}^2

의 부분공간인가? (기하학적으로 제1사분면 ∪ 제3사분면)

부분공간이 아닙니다. 반례:

(1, 2) \in W, \quad (-2, -1) \in W

(1,2) + (-2,-1) = (-1, 1) \quad \Rightarrow \quad (-1)(1) = -1 < 0

따라서 $(-1, 1) \notin W$ 이므로 덧셈에 닫혀 있지 않습니다. 부분공간이 아님을 보일 때는 반례 하나면 충분합니다.

6. 다양한 벡터공간의 예시

추상적 정의의 힘: 전혀 다른 대상들의 공통 구조

벡터공간의 공리적 정의가 강력한 이유는, 전혀 다른 수학적 대상들이 동일한 구조를 공유한다는 것을 포착하기 때문입니다.

유클리드 공간

영벡터

\mathbf{0} = (0, 0, \ldots, 0)

덧셈

(x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1+y_1, \ldots, x_n+y_n)

스칼라배

c(x_1, \ldots, x_n) = (cx_1, \ldots, cx_n)

💡 이전 글에서 이미 다룬 공간. 모든 구체적 계산의 출발점입니다.

통일적 관점

P_2(\mathbb{R})

의 원소

a_0 + a_1 t + a_2 t^2

는 계수

(a_0, a_1, a_2) \in \mathbb{R}^3

과 대응됩니다. 이런 구조를 보존하는 대응을 동형사상(isomorphism)이라 하며, 다음 글에서 본격적으로 다룹니다.

7. 선형결합과 생성공간 (Span)

벡터로부터 부분공간 만들기

부분공간 판정법은 "주어진 집합이 부분공간인가?"를 판단하는 도구였습니다. 이제 반대 방향의 질문: 주어진 벡터들로부터 부분공간을 만들어낼 수 있는가?

정의

선형결합: $v_1, \ldots, v_k \in V$ 의 선형결합이란 $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k$ ( $a_i \in F$ ) 꼴의 벡터.

생성공간: $\text{span}(S) = \{a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k : a_i \in F\}$ — $S$ 의 모든 선형결합의 집합.

\text{span}(S)

가 항상

V

의 부분공간임을 증명해보세요. 부분공간 판정법 (b)를 적용하면 됩니다.

$\text{span}(S) \neq \emptyset$ : 모든 $a_i = 0$ 으로 놓으면 $\mathbf{0} \in \text{span}(S)$ . ✓

덧셈 닫힘: $a_1v_1 + \cdots + a_kv_k$ 와 $b_1v_1 + \cdots + b_kv_k$ 의 합은 $(a_1+b_1)v_1 + \cdots + (a_k+b_k)v_k$ . $a_i + b_i \in F$ 이므로 이것도 $\text{span}(S)$ 의 원소. ✓

스칼라배 닫힘: $c(a_1v_1 + \cdots + a_kv_k) = ca_1v_1 + \cdots + ca_kv_k$ . $ca_i \in F$ 이므로 $\text{span}(S)$ 의 원소. ✓ ∎

더 나아가, $\text{span}(S)$ 는 $S$ 를 포함하는 부분공간 중 가장 작은 것입니다. $W$ 가 부분공간이고 $S \subseteq W$ 이면, $W$ 는 닫힘에 의해 $S$ 의 모든 선형결합을 포함하므로 $\text{span}(S) \subseteq W$ .

8. "= 0" 조건이 부분공간을 만든다

이번 글을 관통하는 핵심 원리

오늘 다룬 모든 예시에서 반복되는 패턴이 있습니다. 어떤 선형적 조건이 0과 같다고 요구하면 부분공간이 되고, 0이 아닌 값과 같다고 요구하면 부분공간이 되지 않습니다.

\{x \in \mathbb{R}^n : Ax = \mathbf{0}\}

✓ 부분공간

영공간 Null(A)

\{p \in P_2 : p(1) = 0\}

✓ 부분공간

t=1에서 근을 갖는 다항식

\{x \in \mathbb{R}^n : Ax = b\},\; b \neq \mathbf{0}

✗

비동차 해집합

\{p \in P_2 : p(1) = 1\}

✗

p(1)=1인 다항식

9. 참/거짓 문제

개념 확인 문제

문제 1.모든 벡터공간은 적어도 하나의 원소를 포함한다.

문제 2.두 부분공간의 합집합은 항상 부분공간이다.

문제 3.

\mathbb{R}^2

의 부분공간은

\{\mathbf{0}\}

, 원점을 지나는 직선,

\mathbb{R}^2

자체뿐이다.

문제 4.

W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + 2y - z = 0\}

은

\mathbb{R}^3

의 부분공간이다.

요약

1.2절 전체 정리

논리적 흐름

Ax = 0의 해집합→닫힘 성질 관찰

닫힘 성질 관찰→벡터공간의 8가지 공리

벡터공간의 8가지 공리→부분공간 판정법 (닫힘 2개)

부분공간 판정법→Span (벡터로부터 부분공간 구성)

핵심 개념

벡터공간

덧셈과 스칼라배가 8가지 공리를 만족하는 구조

ℝⁿ, 행렬, 다항식, 함수 등의 공통 구조를 추상화

부분공간 판정법

닫힘 두 가지만 확인하면 충분

등식 공리는 상속, 존재 공리는 닫힘에서 유도

0v = 0, (-1)v = -v

공리로부터 증명되는 기본 성질

분배법칙 (S2)가 핵심 역할

Span

주어진 벡터들의 모든 선형결합의 집합

S를 포함하는 가장 작은 부분공간

"= 0" 원리

선형 조건 = 0이면 부분공간

Null(A), p(1)=0 등 — 선형대수 전반의 패턴