[선형대수학] 행렬과 연립일차방정식

선형대수학은 연립일차방정식을 푸는 것에서 시작합니다. 행렬은 단순히 숫자를 정리한 표가 아니라, 변환(transformation)을 표현하는 도구입니다. 이 관점을 이해하면 행렬 곱셈이 왜 그렇게 정의되었는지, 역행렬이 언제 존재하는지가 자연스럽게 따라옵니다.

이 글의 여정

행렬 = 변환이라는 관점에서 출발하여, 가우스 소거법과 기본행렬을 거쳐, 역행렬의 존재 조건과 계산법까지 — 하나의 논리적 흐름으로 연결됩니다.

1. 행렬 곱셈은 왜 이렇게 정의되었는가?

변환의 합성에서 유도되는 필연적 정의

행렬의 덧셈은 직관적입니다. 같은 위치끼리 더하면 됩니다. 그런데 곱셈은 왜 "행 × 열"로 복잡하게 정의되었을까요?

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}

행렬 곱셈이 왜 이렇게 정의되었을까요? 왜 단순히 같은 위치끼리 곱하지 않았을까요?

행렬을 변환으로 봅시다.

2×2 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 는 점 $(x, y)$ 를 $(ax+by, cx+dy)$ 로 보내는 변환입니다.

두 변환 $A$ 와 $B$ 를 합성하면 어떻게 될까요?

(x, y) \xrightarrow{B} (ex+fy, gx+hy) \xrightarrow{A} ((ae+bg)x+(af+bh)y, \ldots)

합성 결과의 계수가 정확히 행렬 곱셈의 정의와 일치합니다! 행렬 곱셈은 누군가 임의로 정한 것이 아니라, 변환의 합성에서 자연스럽게 유도된 것입니다.

핵심 통찰

행렬 곱셈 = 변환의 합성

이 관점에서 보면, 행렬 곱셈이 교환법칙을 만족하지 않는 이유도 자명합니다. 회전 후 밀기와 밀기 후 회전은 다른 결과를 낳으니까요.

2. 연립방정식 Ax = b의 의미

변환을 되돌리는 문제

연립방정식 $Ax = b$ 를 변환의 언어로 다시 써봅시다.

새로운 관점

"변환

A

를 적용했더니

b

가 나왔다. 원래 벡터

x

는 무엇이었나?"

예를 들어:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}

이건 "어떤 점 $(x, y)$ 에 변환 $A$ 를 적용했더니 $(5, 8)$ 이 되었다. 원래 점은?"이라는 질문입니다.

변환을 "되돌리면" 되지 않을까요? 즉,

A

의 역변환

A^{-1}

이 존재한다면?

맞습니다! 역변환이 존재한다면 $x = A^{-1}b$ 로 간단하게 해결됩니다.

그런데 모든 변환이 되돌릴 수 있는 건 아닙니다.

예를 들어, 2차원 평면을 직선 위로 찌그러뜨리는 변환을 생각해보세요:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}

이 변환은 $(1, 3)$ 과 $(1, 7)$ 을 모두 $(1, 0)$ 으로 보냅니다. 그렇다면 $(1, 0)$ 의 "원래 점"이 뭐였는지 어떻게 알 수 있을까요? 알 수 없습니다!

3. 행렬식의 기하학적 의미

넓이 변환 비율로서의 행렬식

2×2 행렬 $A$ 의 행렬식 $\det(A)$ 는 변환 $A$ 가 넓이를 몇 배로 바꾸는가를 나타냅니다.

🎨 행렬식 시각화

행렬 A

원본 (단위 정사각형)

→

변환 후

det(A) = 5→ 넓이가 5배 (방향 보존)

핵심

\det(A) = 0

이면 변환이 차원을 낮추므로, 정보가 손실되어 되돌릴 수 없습니다. 이것이 역행렬이 존재하지 않는 이유입니다.

4. 가우스 소거법

연립방정식 해의 존재와 유일성 판정

가우스 소거법은 세 가지 행 연산을 사용해서 행렬을 사다리꼴로 만드는 과정입니다:

행 교환

두 행의 위치를 바꾸기

스칼라배

행 전체에 0이 아닌 수를 곱하기

행 덧셈

한 행의 배수를 다른 행에 더하기

📊 가우스 소거법 단계별 시각화

1215

25313

1328

원래 첨가행렬

Rank와 해의 판정

"최초의 1"(피벗)의 개수를 rank(계수)라고 합니다.

• rank = 미지수 개수 → 유일한 해

• rank < 미지수 개수, 모순 없음 → 무한히 많은 해

• 모순 발생 (예: 0 = 3) → 해 없음

5. 기본행렬

행 연산을 행렬로 표현하기

행렬은 변환입니다. 그렇다면 행 연산도 어떤 행렬을 곱하는 것으로 표현할 수 있지 않을까요?

핵심 원리

항등행렬에 행 연산을 적용하면, 그 연산을 나타내는 행렬이 됩니다.

1행과 2행을 교환합니다. 역연산도 같은 연산입니다.

기본행렬 E

010

100

001

행렬 A

213

456

789

456

213

789

역행렬

010

100

001

E⁻¹

010

100

001

100

010

001

중요한 관찰

기본행렬의 역행렬도 기본행렬입니다.
• 교환의 역 → 교환 (같은 연산)
• 스칼라배의 역 → 역수배
• 행 덧셈의 역 → 반대 부호로 덧셈

6. 역행렬 계산

가우스 소거법으로 역행렬 구하기

가우스 소거법을 통해 $A$ 를 $I$ 로 만드는 과정은 여러 기본행렬을 곱하는 것과 같습니다:

E_k \cdots E_2 E_1 A = I

따라서 $E_k \cdots E_1 = A^{-1}$ 입니다. 이를 쉽게 구하는 방법: $A$ 와 $I$ 를 나란히 놓고 소거법을 적용합니다.

[A \mid I] \xrightarrow{\text{행 연산}} [I \mid A^{-1}]

🔢 역행렬 계산 과정

왼쪽 (A → I)

오른쪽 (I → A⁻¹)

첨가행렬 [A | I] 구성

7. 핵심 정리와 증명

기본행렬과 역행렬의 깊은 관계

정리 1

가역행렬은 기본행렬들의 곱으로 표현된다.
즉,

A

가 가역이면

A = E_1 E_2 \cdots E_k

인 기본행렬들이 존재한다.

정리 2

A

B

가

n \times n

행렬일 때,

AB = I

이면

BA = I

이다.

의미

유한 차원에서는 좌역원 = 우역원입니다.

AB = I

만 확인하면

BA = I

는 공짜로 따라옵니다. 이는 무한 차원에서는 성립하지 않는 유한 차원만의 특별한 성질입니다.

8. 참/거짓 문제

개념 확인 문제

문제 1.A와 B가 가역행렬이면, AB도 가역행렬이다.

문제 2.A² = O (영행렬)이면, A = O이다.

문제 3.AB = AC이고 A ≠ O이면, B = C이다.

요약

1.1절 전체 정리

행렬 = 변환

행렬 곱셈은 변환의 합성

곱셈 정의가 필연적인 이유

연립방정식 Ax = b

변환의 역추적 문제

역변환이 존재하면 x = A⁻¹b

행렬식

넓이/부피 변환 비율

det = 0 ↔ 차원 붕괴 ↔ 역행렬 없음

가우스 소거법

행 연산으로 사다리꼴 만들기

rank로 해의 존재/유일성 판정

기본행렬

각 행 연산 = 특정 행렬 곱하기

기본행렬의 역행렬도 기본행렬

역행렬 계산

[A | I] → [I | A⁻¹]

가우스 소거법으로 직접 계산